两圆重叠问题你会求解吗？这个问题的准确答案，德国数学家最近才找到

萧箫 发自 凹非寺

量子位 报道 | 公众号 QbitAI

先来看一道简单的几何问题：

下图中，黑圆恰好将红圆的面积等分，且黑圆的圆心恰好在红圆上。假设红圆半径为R，黑圆半径为r，求r。

是不是感觉已经信手拈来，能在纸上演算一通了？

然而，就是这个看起来简单的数学难题，让数学家们想了几百年，都没能给出它的解析解。

解析解，指用精确的数学表达式写出的方程解。有些方程难以求出解析解，只能写出近似解。如下图，x=cos(x)就没有解析解，方程的解只能近似为x≈0.7390…

△x=cos(x)，x没有解析解

这个难倒数学家的问题，叫做「山羊问题」 （goat problem），最初的问题描述是这样的：

将一只山羊拴在面积为1英亩的圆形草地的围栏上，请问栓多长的绳子，才能让山羊刚好吃到半英亩的草？

问题提出后，已有数学家给出了2种求解方程。

但，仅仅是“方程”：

这个问题的精确答案，即如何准确地用围栏半径来表示绳子长度，却一直悬而未解。

美国海军学院数学家Mark Meyerson曾表示，对于这一问题，此前“没人知道确切答案，解决方法只是大致给出的。”

直到今年，才有一位叫做Ingo Ullisch的德国数学家，给出了这个问题的解析解。

从迭代到积分，求出来的还是方程

如果用数学的语言来描述这个问题，它是这样的：

一个半径为R的圆A，与另一个半径为r的圆B相交，其中圆B的圆心在圆A上，且两个圆的相交面积为圆A面积的一半，求解r。

如果只是列出有关r的方程，目前已经有两种方案。

第一种方案，代入求解透镜面积的方程。

透镜由两个（半径相同或不同的）圆相交构成，求解它的面积A，目前已有这么一个公式（其中，两圆半径为R和r，圆心之间的距离为d）：

显然，「山羊问题」也能用透镜面积方程来求解。

假设围栏的半径为1，那么在「山羊问题」中，求解条件将变成R=d=1，且A=1/2π，求解出来的r符合这一方程式：

这个方程需要用迭代法求解，能得到r=1.1587…的答案。

但这不是数学家想要的结果。

不愿意就此放弃的数学家们，试图用求积分来解决这一问题，并给出了第二种方案：

这次，他们求出了左边有r的式子，但遗憾的是，这其实是个超越方程 （指方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，类似于x=cosx）：

这些看似都能求解出r，但实际上只能算出数值解，而非解析解。

最后用上了复变函数

直到今年，一个名为Ingo Ullisch的科学家，才终于给出了问题精准的解析解。

不过，为了求解这一问题，他甚至用上了复变函数的知识，这也使得式子变得复杂不已。

但也得益于他的贡献，这一问题自被提出以来，第一次有了解析解：

那么，这个式子是怎么被求解出来的呢？

根据Ullisch的思路，他以两个圆的圆心与其中一个交点相连，组成了一个三角形，如下图所示。

其中，三角形的两个底角分别被设为α/2和β/2。

在经过一系列复杂运算后，Ullisch将式子简化成了下面这个方程：

求解这一方程，就能得到解析解，但会用到复变函数相关的定理。

Ullisch表示，这一问题之所以复杂，是因为问题本质上相当于给定了一个面积固定值，并倒推出它的输入。

但如果想要逆转这一过程，反向求解出输入的定义，问题就会变得棘手。

CMU的数学教授Michael Harrison表示，这是他所知道的有关「山羊问题」的第一个明确的解析解。

“这绝对是一个进步。”

这也是山羊问题系列中，最原始、最根本，也是最难的问题之一。

有关山羊的问题，还有这么多

事实上，自1748年来，数学家们还从最原始的山羊问题中，思考出了各种问题的变体（换着花样找难题做）。

例如，除了让山羊在围栏内吃草，还让山羊到围栏外吃草，并计算它能吃到的最大草地面积（其中，绳索长度和围栏周长固定）：

此外，甚至还让羊飞上了空中，让它在三维的世界里吃草（空间中的山羊问题）：

当然，根本问题还是求解球的半径r，使得两个相交球的相交体积正好是单位球体积的一半。

不过，兰卡斯特大学的数学教授Graham Jameson表示：“三维问题实际上比二维问题更容易解决。”

数学家Fraser表示，这是因为，如果将问题放在无限的维度中，数学家们可以推论出一个更明确的答案。

例如，将这个问题放到n维空间时，Fraser就推算出，当n接近无穷大的时候，绳子与限定球体的半径比接近于√2。

然而在二维世界里，这种明确的答案反而很难找。

因此，这次Ullisch求出的解析解，也是「山羊问题」系列的重大突破。

不过Ullisch也承认，这一问题的解决，并不会颠覆教科书或数学的研究，因为它只是一个孤立问题，不仅与其他问题无关，也没有嵌入数学理论。

但数学家们仍然非常激动。

Mark Meyerson表示：

为数学题寻找新的解法，通常是很有价值的，这些解法不仅可以再次给已解决的问题带来新思路，还可以将之推广到其他问题上。

数学家Harrison则认为：

虽然解决放牧山羊的问题不会取得突破性的数学成果，但数学领域的新方向，永远可能来自任何地方。

而提出山羊问题超越方程的Hoffman，也有类似的看法：

并非所有的数学进步都来自于取得根本性突破的人。有时候，这种进步也包括研究经典方法并找到新的角度，最终可能会带来意想不到的效果。

当然，网友在祝贺之余，也有表示这一问题“不太符合生活常理”的：

我认为这个问题，是没有山羊相关的经验的人提出的。因为我一想到山羊，就会想到它们在拼命跳篱笆、嚼绳子……这让我没办法专心解决这个问题。